L’analisi numerica si occupa di discretizzare un problema continuo, attraverso metodi di approssimazione e di troncamento, mettendo in discussione la sua precisione.

Durante la sequenza di approssimazione ogni passo induce errore di approssimazione ($\epsilon_{x}$).

Algoritmi matematici: Anche gli algoritmi vengono “discretizzati”, in quanto generalmente facili da risolvere per un’umano, ma troppo complessi per un computer, sono quindi date delle limitazioni.

Esempio “regola di Laplace”: Cercare tra le righe della matrice quella con più zeri può sembrare facile, invece per un computer richiede complessità $O(n!)$, si usa quindi farlo sempre solo sulla prima riga.

Aritmetica finita

La rappresentazione con un numero finito di cifre introduce un’errore:

• Nella rappresentazione ⇒ errore inerente $(E_{in})$
• Nelle operazioni ⇒ errore algoritmico $(E_{alg})$

Rappresentazione in base

I numeri rappresentabili in un calcolatore sono a coppie finite (0,1):

$$ n \ \text{cifre} \implies 2^n \ \ \text{possibili configurazioni} $$

Problema ⇒ quali valori reali associare alle configurazioni, per distribuire al meglio la retta reale.

Teorema

Dato un valore $x \in \R \ | \ x \not =0$ da rappresentare in base $\beta$ esistono e sono unici:

1. Esponente ⇒ $p \in \Z$
2. Successione numeri naturali $d_i \in \N$ (cifre rappresentazione)
   1. Normalizzati → $d_1 \not =0$ (prima cifra deve sempre essere diversa da zero)
   2. Interi → $0 ≤ d_i < \beta-1$
   3. $d_i$ non definitivamente uguali a $\beta - 1$ (unicità rappresentazione)

$$ x=sgn(x)\beta^p \sum_{i=1}^{\infty}{d_i \beta^{-i}} $$

• Mantissa ⇒ $\sum_{i=1}^{\infty}{d_i \beta^{-i}}$
• Cifre rappresentazione ⇒ $d_i$
• Esponente ⇒ $p$