Si occupa di studiare le variazioni infinitesimali di una funzione, cioè il suo comportamento in ogni punto di $f$ (crescenza, curva concava o convessa, presenza di asintoto, ecc…).
Un punto $P$ si muove in una funzione $f(t)$, lo spazio percorso è in funzione del tempo $\Delta t$. Dopo un lasso di tempo $\Delta t$, lo spazio sarà dato da $s'= f(t+\Delta t)$.
La retta passante per i due punti, rappresenta la velocità media (rapporto incrementale).
La velocità istantanea, è data dal limite a zero del rapporto incrementale (spazio percorso / $\Delta t$)
$$ v(t)=\lim_{\Delta t→0}{\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}} $$
cioè la derivata prima della funzione “spazio percorso nel tempo t” $v(t)$
La velocità è relativa al sistema di riferimento usato ⇒ l’effetto della forza non è la velocità ma è l’accelerazione, cioè la velocità di variazione della velocità.
Il concetto di velocità con la quale l’accelerazione varia è data dalla derivata seconda. Derivata rispetto al tempo della funzione “spazio percorso” e l’intervallo di tempo.
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Retta tangente ⇒ l’unica retta passante per $P$ che non interseca il grafico in altri punti.
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La derivata indica il tasso di variazione della pendenza durante il percorso tra $(a,b)$.
$$ \frac{\text{variazione quota}}{\text{variazione percorso}} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Visto che la pendenza varia durante il percorso, per aumentare la precisione, si considerano tratti sempre più piccoli di percorso, facendo tendere la retta a zero ($h → 0$).