Risponde al più antico problema di calcolo differenziale: misurare l’area di una figura curvilinea. Fissato un quadratino (unità di misura), contare le $n$ volte che può essere riportato nella figura. Con i quadratini, ci si limita alla misurazione di figure scomponibili in rettangoli.
La lunghezza di una curva, può essere “stimata” attraverso un’approssimazione successiva sempre più accurata, di una serie di poligoni regolari inscritti e circoscritti alla curva $f$. Il numero dei lati dei rettangoli, costituenti il poligono, cresce indefinitamente.
Il calcolo effettivo di tale misura, avviene con il calcolo integrale, attraverso l’antiderivata di $f$.
Per identificare l’area compresa tra l’asse $x$ e l’arco di parabola $y=x^2$, si divide l’intervallo in $n$ segmenti uguali, di estremi $x_i=\frac{i}{n}$ e $x_{i+1}=\frac{i+1}{n}$.
L’area cercata è approssimata dalla somma delle aree dei rettangoli.
Somma di quadrati: Permette di sommare i quadrati degli interi da $1$ a $n$, senza calcolare ogni quadrato.
Data una funzione $f:[a,b] → \R$ limitata ma non necessariamente continua, e la suddivisione di$[a,b]$, individuata dai punti $a=x_0$, $x_1, x_2,…,x_{n-1}$, $x_n=b$
Per ogni coppia di punti intermedi $x_j=a+jh$ con $h=\frac{b-a}{n}$ e $j=0,…,n$ , che determinano gli $n$ intervallini $[x_{j-1}, x_j]$ per ongiuno dei quali è scelto un punto arbitrario $\epsilon_j (j=1,2,…,n)$
Si costruisce la somma di Cauchy-Riemann:
A ogni passo della costruzione gli addendi di $S_n$ cambiano, diventando sempre più piccoli.
Si utilizza quindi il limite per $n → + \infty$, così da ottenere un risultato singificativo.
