Data una matrice quadrata non singolare $A \in \R^{n \times n}$ e due vettori $x,b \in \R^n$ si ha il sistema:

$$ Ax=b $$

• La $A$ e detta matrice dei coefficienti del sistema lineare.
• Il vettore $b$ e detto vettore dei termini noti.
• Il vettore $x$ e detto vettore delle incognite.

Soluzione del sistema:

$$ \begin{cases} \sum_{j=1}^n{a_{1,j}x_j}=b_1 \\ \sum_{j=1}^n{a_{2,j}x_j}=b_2 \\ \cdots \\ \sum_{j=1}^n{a_{n,j}x_j}=b_n\end{cases} $$

• $b \in Im\{A\}$ ⇒ infinite soluzioni
• $b \not \in Im\{A\}$ ⇒ non esistono soluzioni

Il metodo più utilizzato per risolvere i sistemi lineari è metodo per sostituzione (Gauss).

Il sistema ha una sola soluzione:

• $det(A) \not = 0$
• A non singolare
• A invertibile
• $rk(A) = \R$
• $dim(ker(A))=0$
• righe e colonne linearmente indipendenti
• colonne linearmente indipendenti (a seguito di riduzione Gauss)
• $\lambda \not = 0$

Condizionamento

Studiare il condizionamento di un sistema $Ax=b$, permette di capire in quali condizioni una perturbazione nei dati si ripercuote in modo più o meno amplificato nella soluzione.

Si assumono: