E’ una generalizzazione della lunghezza di un vettore $x \in \R^n$:

$$ \|x \|=\sqrt{x^2_1+\dots+x_n^2} $$

In algebra lineare, i problemi riguardano risolvere sistemi lineari e trovare autovalori/autovettori. Studiarne il condizionamento implica avere strumenti per valutare la sensibilità del problema rispetto a una perturbazione dei dati in ingresso.

Essenziale disporre di strumenti per valutare la distanza tra vettori $(\mathbb{F}^n)$ e matrici $(\mathbb{F}^{n×n})$.

Norme vettoriali

Funzione $f: \mathbb{F}^n \rightarrow \R$ ****che associa a ogni vettore $x \in \mathbb{F}^n$ un valore reale $\lambda \in \R$ che soddisfa:

1. $\forall \ x \in \mathbb{F}^n, \ \ \ \ \ \| x\| \geq 0 \ \ \ \land \ \ \ (\| x\| = 0) \ \ \iff \ \ x=0$
2. $\forall \ x \in \mathbb{F}^n, \ \forall \alpha \in \mathbb{F}, \ \ \ \ \ \| \alpha x\|=|\alpha| \|x\|$
3. $\forall \ x,y \in \mathbb{F}^n, \ \ \ \ \ \| x+y\| \leq \| x\| + \|y\|$ (disuguaglianza triangolare)

Induttività

Una norma vettoriale in $\mathbb{F}$ induce una distanza $d: \mathbb{F}^n \times \mathbb{F}^n \rightarrow \R$ tra due elementi di $\mathbb{F}^n$

$$ \forall v, z \in \mathbb{F}^n , \ \ \ d(v,z) =\|v-z\| $$

Norme

Le seguenti funzioni $f(v)$ dove $v = [v_1, \dots, v_n]^{T} \in \R^n$ definiscono le più importanti norme:

Norma 1

$$ \| x\|1 = \sum{i=1}^n |x_i| $$

Norma $\infty$

$$ \| x\|\infty = \max{i=1,..,n}{|x_i|} $$

Norma 2

Norma euclidea (del massimo) ⇒ $x \in \R^n \ | x=(x_1,x_2,...,x_n) \ \ \Rightarrow \|x\| = \sqrt{x^{2}}$

$$ \| x\|2 = \sqrt{x^Tx}=\sqrt{\sum{i=1}^n x_i^{2} } $$

Cerchi unitari: