Relazioni su un insieme

Sono quelle relazioni dove l’insieme di partenza e l’insieme di arrivo sono uguali.

Una relazione su un insieme A non è altro che un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times A$, cioè uno degli elementi di $rel(A,A)$ (insieme di tutte le possibili relazioni di A)

La relazione di tipo $R \subseteq A \times B$ non è relazione su insieme.

Esempi:

• Relazione identità su A: $id_A \in rel(A,A)$
• Succ = $\{(x; y) \in N \times N \setminus y = x + 1\}$
• $Somma \in Rel ((Z \times Z), Z)$ non è in relazione, perchè (Z x Z) e Z sono diverse

Essendo lo stesso insieme, si possono utilizzare le proprietà di uguaglianza e inclusione:

• RIFLESSIVITA’: $A = A$ allora $A\subseteq A$
• TRANSITIVITA’: $A = B$ e $B = C$ allora $A = C$
• SIMMETRIA: $A=B$ allora $B=A$
• ANTI-SIMMETRIA: $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$ allora $A=B$

Notazione grafica

Nella rappresentazione della relazione non si utilizzano i 2 ovali con le frecce.