Moltiplicare un vettore $v \in \mathbb{F}^n$ per una matrice $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ ne altera direzione e lunghezza. Ci sono però vettori speciali che moltiplicati per $A$ non cambiano direzione → autovettori $\lambda x$

Esiste quindi un numero $\lambda$ che moltiplicato per il vettore $x \in \mathbb{F}^n \ | \ x \not =0$ tale che:

$$ Ax =\lambda x \ \iff \ \red{\det(A-\lambda Id)x=0} $$

$\lambda$ è detto autovalore di $A$ mentre $x$ l’autovettore corrispondente.

Proprietà $(A)$:

• Gli autovalori della matrice, sono gli zeri del polinomio caratteristico $p(\lambda)$

• Se la matrice è non singolare ⇒ allora $\frac{1}{\lambda}$ è autovalore di $A^{-1}$

• Se la matrice è simmetrica:

  $$ A=A^T \ \ \rightarrow \ \ a_{ij}=a_{ji} $$

  • Autovalori $\lambda_{i}$ sempre reali (teorema spettrale)
  • Sempre diagonalizzabile
  • Determinante è il prodotto degli autovalori

Matrice diagonalizzabile

Una matrice $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ è diagonalizzabile $\iff$ha $n$ autovettori linearmente indipendenti.

Ogni $\lambda_A$ è linearmente indipendente $\iff$ $ker(A- \lambda Id)=0 \ \ \forall \ \lambda_i \in A$ $(M_a = M_g)$

• $M_a$ (molteplicità algebrica) ⇒ numero di occorrenze di $\lambda$
• $M_g$ (molteplicità geometrica) ⇒ $\dim(ker(A- \lambda Id)) \leq M_a$

Dimostrazione:

Supponendo $n$ autovettori indipendenti $\{x_1,...,x_n\}$, corrispondenti agli autovalori $\{λ_1,...,λ_n\}$

• $D$ → matrice con diagonale gli autovalori
• $S$ → matrice degli autovettori