$q \not = 1$
$$ s_n=1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
$q = 1$
Permette di estendere l’operazione di somma verso un numero infinito di addendi. Infatti non è paradossale che una somma infinita di addendi ben definiti, dia un risultato finito.
Data una successione di numeri reali ${a_n}$, si chiama serie dei termini:
$$ \red{\sum^{\infty}_{n=0} a_n} $$
Invece con $s_n$ si indica la successione delle somme parziali:
$$ \green{s_n=\sum^{n}_{k=0} a_k} \ \ \ \ \ \text{per} \ \ n=0,1,2,... $$
La serie viene detta convergente, divergente o irregolare solo se lo è anche la successione $s_n$, in altre parole si ha che $\blue{a_n → s}$ dove $s$ è la somma della serie.
$$ \blue{\sum^{\infty}_{n=0} a_n=s} $$
<aside> 💡
La somma di infiniti addendi, corrisponde al limite della somma finita dei $n$ addendi
$$ \sum^{\infty}{n=0} a_n= \lim{n \rightarrow +\infty}\sum^{\infty}{k=0} a_k= \pink{\lim{n \rightarrow +\infty} s_n} $$
</aside>
Una serie numerica coinvolge sempre 2 successioni:
Sia $\red{a_n = q^n}$ dove $q \in \R$
$q \not = 1$
$$ s_n=1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
$q = 1$
Quindi il valore di $q$, determina la convergenza della serie: